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Para as olimpíadas internas de um colégio, foram formadas 16 equipes, cada uma identificada por um escudo. Cada escudo será dividido em 4 regiões distintas, conforme a Figura 1.
Figura 1
Foram escolhidas três cores para colorir as regiões de todos os escudos. Em cada região, será utilizada uma única cor, e o escudo de cada equipe será colorido com até três dessas cores. Regiões com lado em comum não podem ter a mesma cor. Não pode haver duas equipes com uma mesma configuração de cores no escudo. A Figura 2 apresenta dois escudos possíveis.
Figura 2
Cinco responsáveis pelas olimpíadas analisaram a viabilidade de se confeccionarem os escudos, e cada um formulou um argumento:
I. é viável, pois há 18 escudos possíveis;
II. é viável, pois há 72 escudos possíveis;
III. é viável, pois há 81 escudos possíveis;
IV. não é viável, pois há apenas 6 escudos possíveis;
V. não é viável, pois há apenas 12 escudos possíveis.
O argumento correto foi o
A I.
B II.
C III.
D IV.
E V.
Gabarito oficial
A
Caderno de referência do INEP.
O que a questão cobra
Análise combinatória: contagem com restrição de vizinhança (coloração de um ciclo de quatro regiões).
Resolução passo a passo
- Descubra quem faz fronteira com quem. Na figura, as quatro regiões se encontram num ponto central: a de cima, a da esquerda, a de baixo e a da direita. Cada uma tem lado em comum com as duas vizinhas, mas as opostas (cima e baixo; esquerda e direita) só se tocam no ponto central — e ponto não é lado.
- Ou seja, a restrição forma um ciclo: cima ≠ esquerda ≠ baixo ≠ direita ≠ cima. As opostas podem repetir cor, e é o que acontece nos dois exemplos da Figura 2.
- Conte passo a passo, com 3 cores. Para a região de cima há 3 escolhas. Para a da esquerda, que é vizinha dela, sobram 2. Para a de baixo, vizinha da esquerda, sobram 2.
- A última, a da direita, é vizinha de duas regiões ao mesmo tempo (cima e baixo) — e o número de opções depende de elas serem iguais ou não. Separe em dois casos.
- Caso 1: cima e baixo com a mesma cor. Isso ocorre em 3 × 2 × 1 = 6 configurações, e aí a região da direita tem 2 cores livres: 6 × 2 = 12.
- Caso 2: cima e baixo com cores diferentes. São 3 × 2 × 1 = 6 configurações, e a direita só tem 1 cor livre: 6 × 1 = 6.
- Total: 12 + 6 = 18 escudos. Como 18 ≥ 16, o projeto é viável — o argumento correto é o I, alternativa A.
Alternativa por alternativa
- A
I.
Correta. As quatro regiões formam um ciclo de vizinhança, e a contagem com três cores dá 12 + 6 = 18 escudos distintos, quantidade suficiente para as 16 equipes.
- B
II.
Errada. 72 viria de contar 3 × 2 × 2 × 2 = 24 e ainda multiplicar por 3, ou de ignorar que a quarta região tem duas vizinhas ao mesmo tempo.
- C
III.
Errada. 81 é 3⁴, o total de colorações sem restrição alguma. A regra de não repetir cor entre vizinhas derruba a maior parte desses casos.
- D
IV.
Errada. 6 seria o número de escudos se as quatro regiões tivessem de ter cores todas diferentes duas a duas — mas só há três cores, e as regiões opostas podem repetir.
- E
V.
Errada. 12 conta apenas o caso em que as regiões opostas de cima e de baixo têm a mesma cor. Faltam os 6 escudos em que elas diferem.
